Ce cours est un enseignement de base en mathématiques permettant d'acquérir des outils utilisés dans les enseignements de mathématiques appliquées, physique, mécanique et économie.

Il prépare aussi aux autres cours de mathématiques plus avancés, en particulier ceux du programme d'approfondissement/M1.

La 1ère partie (4 blocs) est consacrée à la théorie des fonctions holomorphes et la seconde (6 blocs) au calcul différentiel.

Cours 1 : Fonctions holomorphes. Conditions de Cauchy-Riemann. Intégrale le long d'un chemin. Formule de Cauchy. Analyticité.

Cours 2 : Principes des zéros isolés et du maximum. Fonctions méromorphes. Formule des résidus.

Cours 3 : Existence de primitives. Logarithme complexe.

Cours 4 : Produits eulériens. Fonctions Gamma et fonction Zêta.

Cours 5 : Calcul différentiel dans les espaces de Banach. Différentielles, différentielles supérieures. Théorème de Picard.

Cours 6 : Théorèmes des fonctions implicites. Théorème d'inversion locale. Immersions, submersions.

Cours 7 : Sous-variétés. Calcul différentiel sur les sous-variétés.

Cours 8 : Calcul différentiel sur les sous-variétés (suite) : Hessienne.

Cours 9 : Equations différentielles. Théorème de Cauchy-Lipschitz.

Cours 10 : Equations différentielles sur les sous-variétés. Flot.


Langue du cours : Français

Credits ECTS : 5

Ce cours présente une formation de base en analyse. Ce module permet de dominer les outils mathématiques utilisés dans les enseignements de mathématiques appliquées, physique, mécanique et économie. Il ouvre la voie aux programmes d’approfondissement de mathématiques de troisième année.

Le cours présente le formalisme des distributions, introduites par Laurent Schwartz à la fin des années 1940, qui fournit un cadre naturel pour l’étude de la transformation de Fourier. Il se concentre ensuite sur l’étude des propriétés fondamentales des principales équations aux dérivées partielles de la physique mathématique.

- Distributions, dérivation, convolution, régularisation.
- Transformation et séries de Fourier.
- Equations de Poisson et de Laplace. Fonctions harmoniques.
- Equation de la chaleur.
- Equation des ondes et de Schrödinger.

F. Golse: "Distributions, analyse de Fourier et équations aux dérivées partielles"

Appendice "Intégration sur les surfaces"



Langue du cours : Français

Credits ECTS : 5
La théorie de Galois est née au XIX ème siècle pour étudier l'existence de formules pour les solutions d'une équation polynômiale (en fonction des coefficients de l'équation). Cette théorie, à la fois puissante et élégante, fut à l'origine d'un pan entier de l'algèbre moderne, et a depuis connu un développement considérable. Elle demeure un sujet de recherche extrêmement actif.

L'objet de ce cours est dans un premier temps d'introduire les bases et outils d'algèbre générale (groupes, anneaux, algèbres, quotients, extensions de corps...) qui permettront dans un deuxième temps de développer la théorie de Galois, ainsi que certaines de ses applications les plus remarquables.

Au delà de l'intérêt propre du sujet, le cours se veut être une bonne introduction à l'algèbre et à ses diverses applications, tant en mathématiques que dans d'autres disciplines (informatique avec les corps finis, physique ou chimie avec la théorie des groupes par exemple).

* les pré-requis :
Algèbre linéaire classique enseigné en classes préparatoires ou pendant deux premières années d'université.

* les acquis attendus en fin de module
Acquis théoriques :

- Connaissance des structures fondamentales de l'algèbre générale.
- Compréhension des concepts fondamentaux de la théorie de Galois (extensions galoisiennes, groupes de Galois)
- Maîtrise des exemples les plus importants (corps finis, extensions cyclotomiques, extensions résolubles).
- Maîtrise des principales applications historiques (résolubilité des équations polynômiales, constructibilité des polygônes réguliers).

Acquis pratiques :

- Manipulation des structures algébriques fondamentales, calcul de degrés d'extensions.
- Détermination du caractère galoisien d'une extension.
- Calcul de groupes de Galois, notamment par réduction modulo p.
- Applications de la théorie, notamment en théorie des nombres et des corps.

* les modalités d'évaluations des acquis du module

Sont envisagés :

- un contrôle classant en fin du cours,

Langue du cours : Français

Credits ECTS : 5


Galois theory emerged in XIX century to study the existence of formulas for solutions of polynomial equation (in terms of the coefficients of the equation). The theory is both powerful and elegant and was the origin of a very large part of modern algebra. Nowadays it is also a very active research field.

The aim of this course is first to introduce basics and tools of general algebra (groups, rings, algebras, quotients, field extensions...) which will allow in the second part of the course to develop Galois theory, as well as some of its most remarkable applications.

Beyond the the interest on the subject for itself, the course aims at being a good introduction to algebra and its applications, in Mathematics and in other fields (for instance Computer science with finite fields, Physics and Chemistry with group theory).

 

*Prerequisites

Standard linear algebra from the first two years at University.


* Knowledge expected at the end of the course : 

 

Theoretical knowledge :

- Knowledge of fundamental structures in general algebra.

- Knowledge of fundamental concepts in Galois theory (Galois extensions, Galois group)

- Most important examples (finite fields, cyclotomic extensions solvable extensions).

- Main historical applications (solvable polynomial equations, constructability of regular polygons).

 

Practical knowledge :

- Handling of fundamental algebraic structures, computation of degrees of extensions.

- Characterization of Galois extensions.

- Computation of Galois groups, method of reduction modulo p.

- Applications of the theory, in particular to number theory and fields theory

 

* Evaluation : exam at the end of the course.


Language  : French

Ce cours entend fournir les bases de l’analyse fonctionnelle aussi bien en amont des applications aux équations aux dérivées partielles, qu’en amont des applications aux algèbres d’opérateurs.

Des considérations de théories des groupes topologiques seront également prises en compte. On reprendra plus en profondeur les propriétés analytiques et géométriques des espaces de Hilbert, de Banach et de leurs généralisations, avant de les mettre en action en théorie de la mesure, théorie spectrale, etc.

Parmi la liste des sujets abordés, voici quelques notions importantes : convexité, points fixes, mesures de Haar, représentations des groupes compacts, opérateurs elliptiques, théorèmes de plongements entre espaces fonctionnels.

 

Langue du cours : Français

Credits ECTS : 5




This course intends to provide the basics of functional analysis, at the same time before applications to partial differential equations and before applications to operator algebras. 
 
Group-theoretic considerations will also be taken into account. We will go back in full depth to the analytic and geometric properties of Hilbert and Banach spaces, and their generalizations, before using them concretely for measure theory, spectral theory etc. 
 
Among the list of covered topics, here are some some important notions: convexity, fixed points, Haar measures, representations of compact groups, elliptic operators, embedding theorems between function spaces. 
 

Les méthodes combinatoires sont aujourd’hui utilisées dans de nombreux domaines de mathématiques, et les objets discrets, d’une simplicité d’apparence remarquable, s’avèrent posséder en réalité des facettes variées et très riches.

Ce Modal constitue en une introduction aux aspects géométriques et algébriques des objets combinatoires comme graphes, complexes simpliciaux, polytopes et matroïdes, en mettant l'accent sur les interactions avec la géométrie algébrique (notamment la théorie de Hodge), la topologie (en particulier la théorie de Morse) et l'arithmétique.

L'un des objectifs principaux du modal sera de familiariser les élèves avec la recherche mathématique à travers de l'étude des articles de recherche récents et des problèmes proposés dans la partie groupe de travail.

 

 

 

Mélanges de cartes et représentations des groupes symétriques

Romain Tessera                                                                                                               

L’étude théorique des mélanges de cartes a été initiée par Aldous et Diaconis dans les années 80. Le problème central porte sur le nombre de fois qu’il faut mélanger les cartes pour que la distribution obtenue soit « proche » de la distribution uniforme. On peut modéliser le mélange de carte comme une marche aléatoire sur le groupe symétrique. Cette étude a permis de révéler un phénomène surprenant dit de « cut-off »: il s’agit d’une convergence soudaine et abrupte vers la loi d’équilibre à partir d’un certain nombre d’itérations. Ce phénomène est en général difficile à mettre en évidence, et les techniques utilisées sont très variées, allant d’argument purement probabilistes (souvent très élégants) à la théorie des représentations des groupes finis.
Ce sera donc une occasion unique de voyager à la frontière des probabilités, de l’analyse spectrale et l’algèbre, tout en abordant des domaines de recherche très actifs, comme les graphes expanseurs, et les marches aléatoires sur les groupes.


Référence:
Group Representations in Probability and Statistics. P. Diaconis & S. Gupta (ed.). IMS Lecture Notes - Monograph Series, 11 Institute of Mathematical Statistics, Hayward Ca. 

 

 

 Langue du cours : Français